Éléments de calcul de probabilité

On considère un réel $\epsilon \in ]0,1[$ ainsi que la variable aléatoire discrète X, définie par la loi suivante:

$$\forall k \in \mathbb{N}^{*} P(X=k) = \epsilon (1 - \epsilon)^{k-1}$$

Et P(X=0) = 0 Il s'agit bien d'une loi de probabilité sur $\mathbb{N}$ car $\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k)$ existe et vaut 1.
L'espérance E[X] se calcule comme suit:

$$E[X] = \sum_{k=0}^{\infty}kP(X=k-1) = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(1-\epsilon)^{k}$$

Or, la somme $\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)r^{k}$ , pour $r \in [0,1[$, est une somme classique et vaut $1/(1-r)^{2}$. D'où:

$$E[X] = 1/{\epsilon}$$

D'autre part, la variance Var[X] est donnée par l'expression suivante:

$$Var[X] = E[X^{2}] - (E[X])^{2}$$

Nous calculons $E[X^{2}]$:

$$E[X^{2}] = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^{2}\epsilon(1 - \epsilon)^{k}$$

Nous utilisons à nouveau le résultat de la somme classique suivante: $\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(k+2)r^{k}$ qui vaut $2/(1-r)^{3}$. En décomposant $E[X^{2}]$ pour faire apparaître cette somme, on obtient:

$$E[X^{2}] = (2-\epsilon)/\epsilon^{2}$$

On en déduit l'expression de Var[X]:

$$Var[X] = (1 - \epsilon) / \epsilon^{2}$$