Introduction et notations

On considère un signal $X$ mono-dimensionnel dont les valeurs réelles sont bornées. Par convention, on considérera dans la suite de ce chapitre que toutes les valeurs de $X$ sont comprises dans l'intervalle $[0,1]$.
Les valeurs de $X$ sont récupérées à intervalles de temps réguliers, toutes les $\tau$ secondes. Les termes $X(t),X(t+1),...,X(t+k)$ désignent respectivement la valeur de $X$ récupérée à l'instant $t,t+\tau,...,t+k.\tau$.
Le système perceptif $P_{X}$ qui réagit au flux de données reçues de $X$ est composé d'un ensemble de n ``résolutions''; $P_{X}={r_{1},r_{2},...,r_{n}}$. Pour une résolution $r_{k}$ donnée, le segment $[0,1]$ est partitionné en $r_{k}$ segments $i_{0},i_{1},...,i_{r_{k}-1}$ de longueur égale à $1/r_{k}$ (figure B.1):
pour tout $k \in \{1,...,n\}, [0,1]=\bigcup ^{r_{k}-1}_{j=0}i_{j} = \left(\bigcup ^{r_{k... ...[\frac{j}{r_{k}},\frac{j+1}{r_{k}}[ \right) \bigcup [\frac{r_{k}-1}{r_{k}},1]$.
Lorsqu'un signal $X(t)$ est reçu par le système perceptif $P_{X}$, il touche un et un seul segment $i_{j}$ pour chaque résolution $r_{k}$ (figure B.2). Pour chacune de celles-ci, nous allons nous intéresser à la suite des segments touchés successivement, et plus particulièrement à la cohérence de cette suite. Le terme ``cohérence'' fait ici référence à une prolongation de la notion de continuité dans un cadre où les données sont échantillonnées et bruitées et où, par conséquent, le passage à la limite $\lim _{h\rightarrow 0}X(t+h)-X(t)$ n'a plus de sens ( $\left\vert h\right\vert$ est minorée par $\tau$ et, les données étant bruitées, la valeur $X(t+h)-X(t)$ est probablement non proche de zéro, même si h est très proche de 0). D'autre part, nous ne souhaitons pas appliquer à $X$ un quelconque modèle de variable aléatoire. Dans notre cas, un signal ne sera perçu que par l'intermédiaire de l'évolution des segments touchés pour chacune des résolutions: la notion de cohérence ne va donc pas concerner l'évolution du signal en lui-même, mais celle des segments touchés.
Pour une résolution $r_{k}$ donnée, l'évolution du signal $X$ sur un intervalle de temps $[0,t]$ va engendrer une suite de segments touchés $i_{j_{1}},i_{j_{2}},...,i_{j_{p}}$. Cette suite est construite de manière à n'ajouter un segment particulier qu'à l'entrée du signal sur celui-ci (figure B.6): c'est la transition d'un segment à un autre qui est mise en évidence. Dans le cas où le signal $X$ ne toucherait qu'un seul segment au cours de son évolution, la suite serait réduite à celui-ci.
La notion de métrique, nécessaire pour effectuer un passage à la limite, est ici remplacée par une notion triviale de voisinage

Définition _s   Deux segments $i_{k}$ et $i_{l}$ sont voisins si et seulement si l'intersection de leur adhérence dans [0,1] est réduite à un point.

En d'autres termes, si $i_{k}=[a_{k},b_{k}[ \subset [0,1]$ et $i_{l}=[a_{l},b_{l}[ \subset [0,1]$, leur adhérence respective est égale aux segments fermés $[a_{k},b_{k}]$ et $[a_{l},b_{l}]$ et l'intersection entre les deux segments ainsi formés est non vide si et seulement si $b_{k} = a_{l}$ ou $b_{l} = a_{k}$. Cela signifie simplement que les deux segments sont côte-à-côte.
À partir de cette définition, nous exprimons ce que nous entendons par incohérence.

Définition _s   Une suite de segments $i_{j_{1}},i_{j_{2}},...,i_{j_{p}}$ engendrée par l'évolution d'un signal $X$ est dite incohérente si et seulement si il existe $k \in \{1,...,p-1\}$ tel que $i_{j_{k}}$ et $i_{j_{k+1}}$ ne soient pas voisins.

Un exemple d'incohérence est donné par la figure B.5. La notion de cohérence découle logiquement de celle d'incohérence

Définition _s   Une suite de segments $i_{j_{1}},i_{j_{2}},...,i_{j_{p}}$ engendrée par l'évolution d'un signal $X$ est dite cohérente si et seulement si elle n'est pas incohérente suivant la définition 2.

Il n'est pas difficile de constater que la cohérence dépend de la résolution avec laquelle le signal est perçu. La figure B.7 montre ce fait.
Nous avons défini la manière dont le signal est capté par le système perceptif $P_{X}$. Mais, nous n'avons pas encore évoqué la façon dont la dynamique du signal était interprétée. Rappelons que dans la construction d'une suite de segments, chaque élément est ajouté dès qu'une transition entre le dernier segment touché et cet élément est détectée. Toutefois, cette procédure ne permet pas de dégager les tendances d'évolution du signal: il nous manque la connaissance de la transition de sortie de cet élément. Dans le cas où la suite de segments est cohérente, il n'existe que deux possibilités:

1. la transition de sortie pointe vers le segment initiateur de la transition entrante (figure B.3).
2. la transition de sortie pointe vers l'autre segment voisin que le segment initiateur. Dans ce cas, une tendance d'évolution est constatée.

Cela signifie que lorsqu'on considère trois segments $i_{j},i_{k}$ et $i_{l}$ faisant partie d'une suite cohérente, nous avons deux cas possibles:

1. $i_{j} = i_{l}$, équivalent à la première possibilité citée ci-dessus.
2. $i_{j} \neq i_{l}$, équivalent à la deuxième possibilité citée ci-dessus.

Dans ce deuxième cas (voir la figure B.4), nous pouvons définir un sens de parcours du segment $i_{k}$.

Définition _s   Dans le cas où les éléments de $i_{j}$ sont tous inférieurs à ceux de $i_{l}$ (le signal traverse $i_{k}$ de gauche à droite), nous dirons que $i_{k}$ est orienté positivement, ce que nous noterons $i_{k}^{+}$.
Au contraire, dans le cas où les éléments de $i_{j}$ sont tous supérieurs à ceux de $i_{l}$ (le signal traverse $i_{k}$ de droite à gauche), nous dirons que $i_{k}$ est orienté négativement, ce que nous noterons $i_{k}^{-}$.

À partir d'une suite quelconque de segments, il est possible de créer une suite unique de segments orientés. Les éléments de cette suite, c'est-à-dire les segments orientés, forment les informations perceptives de base du système $P_{X}$. Celles-ci expriment donc une succession de mouvements, pour chacune des résolutions possibles.

Figure: L'intervalle [0,1] vu avec une résolution r=6.

L'intervalle $[0,1]$ est partitionné en 6 segments de longueurs égales à $1/6$.

Figure: Application du signal X, vue sous différentes résolutions

Figure B.3: La suite de signaux donne une tendance de retournement

Figure: Segments orientés.

À gauche, le segment $i_{2}$ est orienté positivement et noté $i_{2}^{+}$, alors qu'à droite le segment $i_{2}$ est orienté négativement et noté $i_{2}^{-}$.

Figure: Le signal X est incohérent pour une résolution r=6

Les données $X(t)$ et $X(t+1)$ touchent respectivement les segments $i_{3}$ et $i_{1}$, qui ne sont pas voisins.

Figure: Construction d'une suite de segments touchés par un signal

La séquence des signaux 1,2,3,4,5 et 6 engendre la construction de la suite de segments touchés $i_{1},i_{3},i_{4},i_{3},i_{2}$. La première occurrence de $i_{3}$ apparaît lorsque la transition de $i_{1}$ vers $i_{3}$ est détectée (signal 2). Le signal 3, touchant également $i_{3}$ n'engendre pas la construction d'une deuxième occurrence de $i_{3}$ consécutive.

Figure: La notion de cohérence est dépendante de la résolution.

Pour une résolution de 5, l'évolution du signal 1,2,3 engendre la suite $i_{1},i_{2},i_{3}$ qui est cohérente. Par contre, pour une résolution 10, l'évolution du signal 1,2,3 produit la suite $i_{3},i_{5},i_{7}$ qui n'est pas cohérente.