Probabilité de découverte au hasard d'un segment orienté

Cette sous-section fait référence à l'équation B.1 donnée page (pour le détail des notations, se reporter aux deux sous-sections précédentes):

$$Pr = Pr^{+} + Pr^{-} = \frac{2}{\left(r-1\right)^2}, r \geq 3$$

Soit $X$ un signal dont la distribution suit une loi uniforme sur [0,1] et $r$ la résolution avec laquelle le signal est vu. Le segment [0,1] est partitionné en r segments de même longueur $l=\frac{1}{r}$, nommés $i_{0},i_{1},...,i_{r-1}$.
Considérons un segment $i_{k-1}$, avec $k \in \{2,...,r-3\}$, touché à l'instant t par le signal $X(t)$. Nous souhaitons calculer la probabilité $Pr^{+}$ de détecter le segment orienté $i_{k}^{+}$. Le schéma de détection de ce segment orienté est donné par le graphe B.11.
On en déduit que la probabilité de détection effective du segment orienté $i_{k}^{+}$ au bout de j pas de temps s'exprime en fonction du passage dans les états k-1, k et k+1. Ainsi, pour 2 pas de temps (temps minimum de validation), la probabilité vaut $l^{2}$ (état k à l'instant t+1 et k+1 à l'instant t+2). Pour 3 pas de temps, la probabilité vaut $2l^{3}$ (état k-1 à l'instant t+1, état k à l'instant t+2 et état k+1 à l'instant t+3 OU état k aux instants t+1 et t+2, état k+1 à l'instant t+3). En général, pour j pas de temps, la probabilité vaut $(j-1)l^{j}$: le ``j-1'' est obtenu en comptant le nombre de possibilité de trouver deux entiers (nombre de passages dans l'état k-1 et nombre de passages dans l'état k) tels que leur somme vaut j-1.
Par conséquent, $Pr^{+}=\sum_{j=2}^{\infty}(j-1)l^{j}$. Cette expression existe, car l est strictement inférieur à 1. Elle peut se mettre sous la forme $l^{2} \sum_{j=0}^{\infty}(j+1)l^{j}$. Le résultat de cette somme infinie est ``classique'' et vaut $\frac{1}{(1-l)^{2}}$. Par conséquent, $Pr^{+} = \frac{l^{2}}{(1-l)^{2}}$. En divisant par $l^{2}$, on obtient l'expression désirée: $Pr^{-} = \frac{1}{\left(r-1\right)^2}$.
Le fait de découvrir une tendance (positive ou négative) étant la réunion de deux faits indépendants, dont les probabilités sont $Pr^{+}$ et $Pr^{-}$, on en déduit l'expression désirée de la probabilité de découvrir une tendance (positive ou négative).
Lorsque $k \in \{1,2\}$, la probabilité de découvrir une tendance négative à partir de $i_{k-1}$ est nulle, puisqu'il faut au minimum trois sous-segments consécutifs. De même, si $k \in \{r-1,r-2\}$, la probabilité de découvrir une tendance positive est nulle.

Figure: Graphe des évolutions possibles dans le processus de détection d'un segment orienté

Les arcs sont marqués par la probabilité de transition d'un état à l'autre. L'état de validation de la détection du segment orienté $i_{k}^{+}$ est ``k+1''. L'état d'invalidation de la détection est ``T''.

Pour confirmer expérimentalement les expressions de $Pr^{+}$ et $Pr^{-}$, nous avons utilisé le processus de détection de cohérence en le soumettant à un signal $X(t)$ de densité de probabilité uniforme sur [0,1]. Nous avons compté le nombre de tendances négatives trouvées et calculé le ratio entre ce nombre et le nombre total de recherches de cohérence. Dans ce cadre, il faut noter que ce ratio n'est pas exactement égal à $Pr{-}$: en effet, une tendance négative ne peut pas être découverte si la recherche de cohérence débute sur l'un des deux premiers sous-segments $i_{0}$ ou $i_{1}$, car la détection nécessite trois sous-segments consécutifs. Par conséquent, la probabilité réelle de trouver une tendance négative à partir du signal $(t)$ (tous sous-segments de départ confondus) est donnée par l'expression $(1 - \frac{2}{r}).Pr^{-}$.
Les résultats concernant les résolutions de 5 à 100 par pas de 5 sont synthétisés dans la figure B.12. Pour chaque résolution, l'algorithme est poursuivi jusqu'à atteindre 20000 détections de segments orientés négativement. Un nombre d'itérations identique pour chacune des résolutions aurait donné des résultats moins significatifs pour des résolutions grandes, pour lesquelles un trop faible nombre de découverte peut apparaître, rendant la comparaison théorie/expérience trop imprécise.

Figure: Confrontation des résultats théoriques et expérimentaux concernant l'expression de Pr-