Précisions concernant l'algorithme de sélection

Le nombre d'hypothèses à valider peut-il croître indéfiniment ? Il n'est pas difficile de montrer que ce nombre est majoré. Pour cela, il suffit de noter que le nombre d'ensembles $E(t_{k})$, présents à l'instant t dans l'ensemble TE(t), est majoré. En effet, la durée d'existence d'un ensemble $E(t_{k})$ est majorée par la durée maximum de validation d'une hypothèse de M, c'est-à-dire $\max_{j \in \{1,...,n\}}\{h_{j}\}$. Par conséquent, le nombre maximum d'ensembles $E(t_{k})$ présents dans $TE(t)$ est majoré par $\max_{j \in \{1,...,n\}}\{h_{j}\}$. On en déduit que le nombre d'hypothèses à valider est majoré par $n . \max_{j \in \{1,...,n\}}\{h_{j}\}$. Cependant, on se rend compte que, même si cette limite est bornée, la borne supérieure peut devenir rapidement un frein à des capacités d'utilisation en temps réel. En effet, les tests sur l'appartenance d'une valeur du signal X(t) à chacune des hypothèses s'effectuent à chaque pas de temps.
La sortie S(t) du processus de catégorisation peut être vide. Lorsqu'on initialise le système, elle est obligatoirement vide pendant les $h_{min}$ premiers pas de temps (avec $h_{min} = \min_{j \in \{1,...,n\}}\{h_{j}\}$). D'autre part, S(t) fournit une information sur l'évolution passée du signal X, sur des périodes de temps qui peuvent être différentes (qui dépendent de la valeurs de $h_{j}$). Ainsi, la sortie S(t) peut fournir simultanément des informations à partir d'hypothèses ayant été générées à des instants $t_{k}$ différents.
L'algorithme 1.1 donne, à chaque instant t, un ensemble d'hypothèses validées. Ces hypothèses sont associées à des focus, qui décrivent l'évolution du signal entre un instant $t_{k} < t$ et l'instant t. On ne peut donc pas reconstruire le signal à partir de S(t): une hypothèse $M_{j}$ indique une localisation vague (dépendant de la largeur $l_{j}$ de chaque focus $C_{j}$) du vecteur $(x_{t_{k}}, x_{t_{k}+1}, ..., x_{t}$ dans l'espace $[0,1]^{h_{j}}$. L'ensemble S(t) est donc une superposition, à des échelles de temps $h_{j}$ différentes, de ces localisations. La figure 1.5 illustre nos propos. Dans cet exemple, S(t) est composé de deux hypothèses possédant des échelles de temps différentes et traduisant deux évolutions opposées du signal: l'une est ``descendante'' (génératrice $C_{1}$) et l'autre est ``ascendante'' (génératrice $C_{2}$). L'information perceptive issue de ce signal comporte donc des composantes liées chacune à une échelle de temps particulière.

Figure: Exemple d'un ensemble S(t) comportant deux hypothèses

La figure montre l'ensemble S(t) à l'instant t=3.5 s, qui est composé de deux hypothèses, dont les focus sont représentés par les deux parallélogrammes en trait épais, de génératrices $C_{1}$ et $C_{2}$. Ces deux hypothèses ont été générées aux instant t=2 s et t=2.7 s .