Constitution de la mémoire - notations

Nous allons décrire une catégorie de mémoire particulière, possédant un ensemble infini d'hypothèses. Ce cas est intéressant, car nous allons montrer qu'on peut trouver une approximation de l'ensemble S(t) à chaque pas de temps.
Nous supposons que l'ensemble des hypothèses sont associées à un unique triplet (h,i,l). Par contre, chaque hypothèse est reliée à un focus dont la génératrice est une fonction paramétrique C à p paramètres réels $a_{1},a_{2},...,a_{p}$. Les valeurs de ces p paramètres constituent un vecteur $\alpha$, de dimension p: $\alpha = (a_{1},a_{2},...,a_{p})$. La valeur de la génératrice à l'instant t sera notée $C_{\alpha}(t)$.
Nous supposerons que la génératrice d'un focus ne peut être associée qu'à un unique vecteur $\alpha$. Dans ce cas, une hypothèse est entièrement décrite par la connaissance de la valeur de $\alpha$. Le graphe (a) de la figure 1.6 montre cette correspondance dans le cas où $\alpha$ est de dimension 2 (les deux dimensions sont notées a et b sur le graphe). Ainsi, l'ensemble des solutions à l'instant t, noté S(t), qui est composé des hypothèses validées à t, pourra être associé à l'ensemble des vecteurs $\alpha$. Le graphe (b) de la figure 1.6 montre l'expression d'un ensemble de solutions dans l'espace des $\alpha$.

Figure: Transformée de Hough.

Les graphes temps/signal sont donnés à gauche, alors que les graphes de droite représentent l'ensemble des valeurs de $\alpha$ correspondant aux focus dessinés sur les graphes de gauche. Les génératices sont des droites, déterminées à partir de deux paramètres a et b (pente et valeur à l'origine). Pour la figure (b), nous ne représentons les deux focus ``extrêmes'' à gauche; l'ensemble des valeurs de $\alpha$ associées à ces focus sont données, à droite, par le parallélogramme hachuré.