Prédiction: liens avec le filtrage de Kalman

Considérons la méthode de filtrage de Kalman [Kalman, 1960]. Elle est prédictive, donc possède en elle-même la notion d'anticipation qui est à la base de notre modélisation. D'autre part, elle prend en compte l'incertitude liée à l'imprécision relative des données et de la prédiction. Mais les hypothèses sont fortes: un modèle (linéaire pour le filtre de Kalman de base ou linéarisé localement pour le filtre de Kalman étendu) du système doit être disponible. D'autre part, les imprécisions sur le modèle ainsi que sur les mesures doivent pouvoir être assimilées à des bruits blancs gaussiens, pour que le caractère d'optimalité soit assuré. Si ces conditions sont respectées, l'augmentation du nombre de mesures (prise en compte du passé) permet de gagner en précision sur la détermination de l'état courant ainsi que sur la prédiction de l'état futur du système. Nous voyons ici que le nombre de mesures est lié avec la précision du résultat (c'est-à-dire l'écart par rapport à la solution théorique).
Dans notre cas, nous avons aussi besoin d'un certain nombre de valeurs. Cependant, il faut noter que ces valeurs sont utilisées d'une manière radicalement différentes. Ainsi, dans notre démarche, l'information contenue dans la valeur du signal à un instant t n'est pas utilisée (dans le cadre d'un calcul): chacune des hypothèses détecte la présence de cette valeur dans le focus qui lui est associé. C'est là l'unique utilisation de la valeur du signal. L'accumulation d'informations ne permet pas de gagner en précision (en termes de distance par rapport à un optimal), mais en fiabilité (en termes de probabilité de validation ou d'invalidation d'une hypothèse). Nous ne souhaitons pas nous approcher le plus près possible d'un optimal, mais parvenir à une quasi-certitude sur la coïncidence du signal avec une trajectoire pré-établie ( le focus) associée à une hypothèse sur une période de temps h donnée, avec une imprécision connue à l'avance (largeur l du focus).
D'autre part, le filtrage de Kalman sous-entend que l'état du système est unique à chaque pas de temps (même s'il ne peut être appréhendé qu'en termes de probabilités [Jacobs, 1993]). Cette unicité est déduite directement de l'unicité de la perception à un instant t (le système capte une valeur et une seule, pour un signal mono-dimensionnel). Dans notre cas, nous supposons que l'état du système (déduit de l'information perceptive) ne résulte pas obligatoirement de la détection d'une unique hypothèse. En effet, plusieurs d'entre-elles peuvent être sélectionnées simultanément. D'autre part, les hypothèses ne sont pas forcément associées à une durée de validation h unique: le signal est perçu suivant plusieurs résolutions, qui sont toutes aussi valables les unes que les autres (toutes les hypothèses validées sont associées au même degré de fiabilité, et non pas au même degré de précision !).
Enfin, la non prise en compte de la précision du résultat implique que nous ne soyons pas obligés d'émettre des hypothèses restrictives sur la nature du bruit . En outre, nous remarquons que les bruits induits, d'une part par la non-correspondance exacte du modèle à la réalité, et d'autre part par l'imprécision des mesures forment deux entités distinctes dans le filtrage de Kalman. Ainsi, il y a dans l'esprit de cette méthode l'idée qu'on peut distinguer le modèle de la dynamique du système du modèle des mesures issues des capteurs: cela suppose qu'il existe en théorie un modèle parfait et des mesures parfaites. Dans notre cas, nous avons spécifié qu'on ne peut pas distinguer les deux imprécisions et qu'elles n'en forment qu'une seule: la signification de l'invalidation d'une hypothèse signifie simplement que le modèle d'évolution du signal sur une période de temps déterminée induit par celle-ci ne correspond pas à la réalité, avec un degré de fiabilité fixé a priori. Cette non-correspondance peut être due soit à l'imprécision des mesures soit à l'imprécision du modèle sur cette plage de temps.