Modélisation d'un flux d'erreurs bi-causal dépendant de l'état initial du système

Admettons maintenant qu'il existe deux flux d'erreurs, alimentés chacun par un type d'erreur: $E_{1}$ ou $E_{2}$, caractérisés respectivement par les fréquences d'occurrence d'erreurs $\epsilon_{1}$ et $\epsilon _{2}$. On suppose que l'initialisation du système dynamique décide du type de flux d'erreur, suivant une probabilité p. La figure 1.5 montre la chaîne de Markov associée à cette modélisation.
À partir des résultats de la sous-section précédente (équation 1.3), on en déduit la loi de N:

$$P(N=n) = p \epsilon_{1}(1 - \epsilon_{1})^{n} + (1 - p) \epsilon_{2}(1 - \epsilon_{2})^{n}$$

L'espérance et la variance de N peuvent être facilement déduites des relations trouvées dans la sous-section précédente:

$$E[N] = \frac{p}{\epsilon_{1}} + \frac{1-p}{\epsilon_{2}} Var[N] =... ...- \epsilon_{2}}{{\epsilon_{2}}^{2}} + \frac{p(1-p)}{\epsilon_{1} \epsilon_{2}}$$

L'estimation des paramètres $\epsilon_{1}$, $\epsilon _{2}$ et p est délicate dans le cas général. Par contre, il existe des cas simples. Ainsi, si $\epsilon_{1}$ et $\epsilon _{2}$ possèdent des valeurs très éloignées (par exemple, $\epsilon_{1}$ est bien plus petit que $\epsilon _{2}$, la fonction de répartition des durées de viabilité est séparable en deux zones bien distinctes: la figure 1.8 montre le cas où $\epsilon _{1}=10^{-5}$, $\epsilon _{2}=10^{-2}$ et p=0.5 . On peut affirmer avec une grande certitude que si le système passe par un état terminal au bout de moins de 1000 pas de temps, il est très probable que l'erreur soit $E_{2}$. Au contraire, si le temps de viabilité est supérieur à 1000, il est presque certain que l'erreur soit $E_{1}$. La connaissance de ces zones d'influence peut donc permettre d'estimer les valeurs de $\epsilon_{1}$ et de $\epsilon _{2}$, en ne tenant compte que des durées de viabilités comprises dans leur zone d'influence respective.

Figure: Exemple de densité de répartition des durées de viabilité, obtenu pour $\epsilon _{1}=10^{-5}$, $\epsilon _{2}=10^{-2}$ et p=0.5