Modélisation d'un flux d'erreurs mono-causal

Nous allons nous intéresser à la modélisation d'un flux d'erreurs lorsqu'il existe une seule cause d'erreur, paramétrisée par sa fréquence d'occurrence $\epsilon$.
Considérons un processus dynamique dont l'occurrence d'états non-viables peut être modélisée par une chaîne de Markov à deux états V (pour ``viable'') et T (pour ``terminal''): voir la figure 1.5. Il existe trois transitions: l'une de V vers V, possédant une probabilité de franchissement de $1 - \epsilon$, avec $\epsilon \in ]0,1[$, une autre de V vers T, possédant une probabilité de franchissement de $\epsilon$, puis une troisième de T vers V, possédant une probabilité de transition 1. Cette dernière simule la réinitialisation du système après l'état terminal.
À l'instant initial, le processus se trouve dans l'état V. À chaque pas de temps k, le passage de l'état V à l'état T est formalisé par une variable aléatoire discrète $X_{k}$ à valeur dans 0,1, suivant une loi de Bernoulli de paramètre $\epsilon$. La valeur de la réalisation $x_{k}$ de $X_{k}$ possède la signification suivante: si $x_{k}$ vaut 0, le processus reste dans l'état V à l'instant k+1, sinon il passe dans l'état terminal T et, à l'instant k+1, il se retrouve dans l'état V.
Nous allons nous intéresser au nombre de pas de temps durant lesquels le processus reste dans l'état V sans passer par l'état T. Pour cela, considérons la variable aléatoire discrète $S_{n, n \in \mathbb{N}^{*}}$, définie à partir des $X_{k, k \leq n}$ de la manière suivante:

$$S_{n} = \sum_{k=0}^{n}X_{k}$$

La variable aléatoire $S_{n}$ est directement liée à ce nombre de pas de temps, puisque la réalisation $s_{n}$ vaut 0 uniquement dans le cas où le processus est resté dans l'état V pendant n pas de temps. L'espérance $E[S_{n}/n]$ correspond au nombre moyen d'erreurs par unité de temps.
Deux points vont nous intéresser:

1. on considère que la valeur de $\epsilon$ est connue: comment obtenir la loi de la durée (nombre de pas de temps) séparant deux passages dans l'état T ?
2. on considère que la valeur de $\epsilon$ est inconnue: comment estimer la valeur de $\epsilon$ grâce à une réalisation $s_{n}$ de $S_{n}$ ?

Considérons le point 1. Nous allons faire l'hypothèse que les $X_{k}$ sont indépendantes. Il est connu que $S_{n}$ suit une loi binomiale $B(n,\epsilon)$:

$$P(S_{n} = k) = C_{n}^{k} \epsilon^{k}(1 - \epsilon)^{n-k}$$

Le nombre de pas de temps entre l'instant initial et l'instant du premier passage dans l'état T est une variable aléatoire N vérifiant:

$$P(N=k) = P(S_{k} = 0, X_{k+1} = 1)$$

Les deux événements étant indépendants, il vient:

$$P(N=k) = P(S_{k} = 0).P(X_{k+1} = 1) = \epsilon (1 - \epsilon)^{k}$$ (3)

La probabilité pour que le nombre de pas de temps consécutifs dans l'état V soit inférieure à n est donc:

$$P(N \leq n) = \sum_{k=0}^{n}P(N=k) = 1 - (1 - \epsilon)^{n+1}$$ (4)

Considérons à présent le point 2. Calculons en premier lieu l'espérance et la variance de N grâce à l'équation 1.3. Il vient (voir l'annexe A.3):

$$E[N] = 1 / {\epsilon}$$

Et

$$Var[N] = \frac{1 - \epsilon}{\epsilon^{2}}$$

Lorsque $\epsilon$ est suffisamment petit, l'écart-type de N est presque égal à $1 / {\epsilon}$, c'est-à-dire E[N].
Si on considère un p-échantillon $n_{1},n_{2},...,n_{p}$ de N, grâce à la méthode du maximum de vraisemblance, on peut donner un estimateur $\hat{\epsilon}$ (voir l'annexe A.4):

$$\hat{\epsilon} = \frac{1}{\frac{1}{p}\sum_{k=1}^{p}n_{k} \: + \: 1}$$ (5)

L'échantillon nous permettra d'établir un histogramme de la fonction de répartition réelle des durées de viabilité pour le comparer graphiquement avec la fonction de répartition théorique utilisant l'estimation de $\epsilon$ comme paramètre. Un exemple de fonction de répartition de N est donnée par la figure 1.7, pour $\epsilon =10^{-5}$.

Figure: Exemple de fonction de répartition des durées de viabilité, obtenu pour $\epsilon =10^{-5}$

Voici à présent quelques exemples numériques. Admettons que le flux d'événements ``non-viables'', issus d'un processus dynamique en temps discret, soit modélisable en utilisant la variable aléatoire S, avec un paramètre $\epsilon$ et que le pas de temps vaille 0.02 s. Le nombre moyen d'erreurs est $E[S_{n}] = n \epsilon$. La valeur maximum de $\epsilon$ pour qu'il y ait en moyenne une erreur par an est: $\epsilon \simeq 6.34 10^{-10}$.
Si, à présent, on constate qu'un processus n'est jamais passé par l'état terminal pendant n pas de temps, on peut obtenir une majoration du nombre moyen d'erreurs par jour, avec une certaine confiance. Pour une confiance de 0.99, il suffit de déterminer n pour obtenir P($S_{n}$=0) = 0.99 . Pour $n=10^{5}$ (près de 3 minutes, avec un pas de temps de 0.02 s), on obtient $\epsilon < 10^{-6}$. Grâce à l'expression $E[S_{n}]$, on en déduit que la majoration du nombre d'erreurs moyen par jour est d'environ 4. Si on voulait garantir que cette majoration soit d'une erreur par an, il aurait fallu continuer à observer le processus pendant un peu plus de trois jours.