Notations - Formulation des deux contraintes de CO

L'unique hypothèse est caractérisée par ses trois paramètres: h, i et l. Dans ce cas, il apparaît que la nature de la génératrice du focus n'intervient pas dans les calculs de cette section. Nous supposerons donc que la génératrice est quelconque.
On considère que les h valeurs $x_{t},x_{t+1},...,x_{t+h-1}$ du signal $X$, prises entre les instants t et t+h-1, forment un h-échantillon issu de variables aléatoires réelles $X_{t}, X_{t+1}, ..., X(t+h-1)$ à valeurs dans [0,1], qu'on suppose indépendantes deux à deux. Nous appellerons ``vecteur solution'' tout vecteur ( $x_{1},x_{2},...,x{h}$) respectant les deux contraintes de CO. L'hypothèse de rareté sera associée à un réel $\epsilon \in ]0,1[$ .
L'expression de la contrainte 1 (voir la sous-section 2.2.4, page )impose que l'événement suivant soit rare: ``Parmi les h valeurs consécutives d'un signal X quelconque, prises aux instants t, t+1, ..., t+h-1, il existe au plus i valeurs de X à l'extérieur du focus associé à l'hypothèse de paramètres h, i et l''.
Nommons $P_{1}$ la probabilité que cet événement survienne. L'hypothèse de rareté impose: $P_{1} < \epsilon$. Voici comment notre problème de probabilité peut être interprété en terme de calcul de volume de l'ensemble des solutions vérifiant CO. L'ensemble des valeurs possibles du vecteur ( $x_{t},x_{t+1},...,x_{t+h-1}$) est égal à $[0,1]^{h}$, de volume 1. La probabilité que nous souhaitons calculer correspond au rapport entre le volume de l'ensemble des vecteurs solutions (qui est mesurable) et le volume de l'ensemble des vecteurs possibles. La première contrainte de CO impose donc que le volume des vecteurs solutions puisse être inférieur à $\epsilon$.
Dans le cas où i=0, cet ensemble solution est l'hypercube généré par le focus associé à l'hypothèse. Cet hypercube possède des cotés de longueur l. On en déduit que son volume est $l^{h}$, ce qui correspond à la probabilité d'occurrence de la détection d'une information perceptive. Dans le cas général, l'ensemble solution est composé d'un ensemble d'hypercubes disjoints. Chaque hypercube correspond à l'ensemble des vecteurs solutions présentant k composantes ( $k \le i)$ parmi h en dehors de l'hypercube généré par le focus. Pour k fixé, le volume de tous les hypercubes est identique et vaut $(1-l)^{k}.l^{h-k}$; le nombre de ces hypercubes est combinatoire et vaut $C_{h}^{k}$.
Les hypercubes étant disjoints deux à deux, on en déduit que le volume total de l'ensemble des solutions est donné par l'expression suivante:

$$\sum_{k=0}^{i} C_{h}^{k} (1-l)^{k}.l^{h-k}$$

La première contrainte de CO impose que ce volume soit inférieur à $\epsilon$. Elle implique donc que les triplets (h,i,l), respectant CO vérifient:

$$\sum_{k=0}^{i} C_{h}^{k} (1-l)^{k}.l^{h-k} \leq \epsilon$$ (9)

Cette relation aurait pu être obtenue sans utiliser les volumes, mais en associant à l'événement élémentaire ``la kième composante $x_{k}$ du h-échantillon est incluse dans le focus associée à l'hypothèse de paramètres h, i et l'' une variable aléatoire discrète suivant une loi de Bernoulli. On peut alors considérer la variable aléatoire discrète représentée par la somme de ces h variables aléatoires supposées indépendantes. Cette nouvelle variable aléatoire suit alors une loi binomiale de paramètres l et h. La probabilité que nous recherchons correspond à la probabilité que cette somme soit supérieure ou égale à h-i.
Pour formuler la deuxième contrainte, nous allons considérer que l'ensemble des signaux perçus réellement peut être modélisé de la manière suivante. On suppose que l'ensemble des vecteurs ( $x_{t-h+1},x_{t-h+2},...,x_{t}$) sont des réalisations d'un vecteur Y comportant h variables aléatoires réelles, Y étant mis sous la forme suivante:

$$Y = X_{d} + B$$

$X_{d}$ est un vecteur, constant dans le temps, appartenant à l'hypercube $[0,1]^{h}$ et $B$ est un vecteur de variables aléatoires continues $B_{1}, B_{2}, ..., B_{h}$ qu'on supposera indépendantes. Les $B_{j}$ pourront être associées à des lois de probabilité différentes les unes des autres. Une réalisation de B sera un vecteur, noté $b_{1},b_{2},...,b_{h}$. On considère également le vecteur ( $p_{1},p_{2},...,p_{h}$) $\in [0,1]^{h}$, dont chaque composante $p_{j}$ définit la probabilité pour que $x_{t-h+j}$ appartienne au focus associé à l'hypothèse de la mémoire:

$$p_{j} = P(Y \in [C(t-h+j) - l/2, C(t-h+j) + l/2] )$$

La seconde contrainte est alors exprimable par la relation suivante:

$$\sum_{E \subset H(m)}\left(\prod_{j \in E}p_{j}\right)\left (\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})\right) < \epsilon$$ (10)

Avec $H(m)$ ensemble des parties de $\{0,1,...,h-1\}$ comportant $m$ éléments, et $\overline{E}$ ensembles des éléments de $\{0,1,...,h-1\}$ n'appartenant pas à $E$.
Cette relation se simplifie dans le cas particulier où les $p_{j}$ sont tous égaux. On retrouve alors l'expression d'une loi binomiale, similaire à celle de la relation 2.1.