Preuve de la proposition 7 (paragraphe 2.3.3, page )

Dans ce paragraphe, nous utiliserons des notations identiques à celles employées dans les preuves données au cours des paragraphes B.3.2 et B.3.3, en particulier pour les suites $(u_{h,i})$, $(u^{'}_{h,i})$ et $v_{h,m}$.
Dans un premier temps, nous allons considérer que les $p_{j}$ sont tous égaux et valent p. Afin de mieux comprendre la démonstration qui suit, la figure B.14 montre l'évolution des suites $u_{h,i}$ et $u^{'}_{h,i}$ suivant i, lorsque h est fixé, pour les trois cas de figure suivants:

1. l < p : cas où il existe des couples solution $h,i$ pour tout $\epsilon > 0$.
2. l = p : cas lié, entre autres, au fait de recevoir un signal $X(t)$ dont chacune des valeurs suit une loi uniforme sur [0,1], pour lequel il n'existe pas de couples solution.
3. l > p : cas lié, entre autres, au fait que le centre du focus est trop éloigné du point de densité maximale de $X(t)$.

Figure: Une idée de l'évolution des probabilités u et u' suivant i.

La somme $u_{h,i} + u^{'}_{h,i}$ représente la propension des deux suites à pouvoir ou non avoir des valeurs petites simultanément.

Figure: Évolution de la suite v, suivant m, à h fixé.

Le plan de notre démonstration est le suivant:

1. Étude de l'évolution de $v_{h,m}$ suivant m, à h fixé.
2. Étude du cas l < p: on déduit du point précédent deux fonctions majorantes (une pour $u_{h,i}$ et une pour $u^{'}_{h,i}$), qui tendent toutes les deux vers 0 lorsque h tend vers l'infini.
3. Étude du cas l = p: on montre que $u_{h,i} + u^{'}_{h,i} = 1$ pour tout h et tout i.
4. Étude du cas l > p: on montre que $u_{h,i} + u^{'}_{h,i} \geq 1$ pour tout h et tout $i \leq h$.

Lorsque les $p_{j}$ sont supposés constants, valant p, la probabilité $v_{h,m}$ s'exprime par une loi binomiale de paramètres (h,m):

$$v_{h,m} = C_{h}^{m} p^{m} (1-p)^{h-m}$$

Au regard de quelques exemples d'évolution de $v_{h,m}$ suivant m (voir la figure B.15), à h fixé, nous nous apercevons que l'élément maximum de cette suite est celui dont la valeur est la plus proche du produit $p.h$. Nous allons montrer que cette observation est justifiée.
Pour cela, nous utilisons une fonction auxiliaire prolongeant $v_{h,m}$ pour des valeurs non entières de h et m.

$$f(h,m) = c(h,m) p^{m} (1-p)^{h-m}$$

avec

$$c(h,m) = \frac{\Gamma(h)}{\Gamma(m) \Gamma(h-m)}$$

La fonction $\Gamma$ d'Euler prolonge la fonction factorielle pour des valeurs non entières.
La dérivée partielle de c(h,m) suivant m est donnée par l'expression suivante:

$$\forall h>0,m \in ]0,h[, \, \, \frac{\partial c}{\partial m} (h,m... ... \left( \frac{\Gamma'(h-m)}{\Gamma(h-m)} - \frac{\Gamma'(m)}{\Gamma(m)} \right)$$

Considérons la fonction d suivante:

$$\forall m \in [0,h[, \: d(m) = \ln(\Gamma(h-m)) + \ln(\Gamma(m))$$

La fonction d est continue et dérivable sur [1,h]. On remarque que la dérivée $d'(m) = -\frac{\Gamma'(h-m)}{\Gamma(h-m)} + \frac{\Gamma'(m)}{\Gamma(m)}$ Par conséquent, l'expression de la dérivée partielle de $c(h,m)$ suivant m s'écrit:

$$\forall h>0,m \in [0,h[, \, \, \frac{\partial c}{\partial m} (h,m) = -c(h,m) d'(m)$$

On en déduit l'expression de la dérivée partielle de f suivant m:

$$\forall h>0,m \in [0,h[, \, \, \frac{\partial f}{\partial m}(h,m) = f(h,m) \left[ -d'(m) + ln\left(\frac{p}{1-p} \right) \right]$$ (23)

Comme f ne s'annule pas, l'annulation de $\frac{\partial f}{\partial m}(h,m)$ impose:

$$-d'(m) + ln\left(\frac{p}{1-p} \right) = 0$$

Nous allons à présent montrer que ce terme s'annule pour une valeur de m ``proche'' de ph. Par construction de $\Gamma$, on a:

$$\Gamma(ph + 1) = (ph + 1) \Gamma(ph)$$

$$\Gamma(h - ph) = (1-p)h \, \Gamma(h - (ph + 1))$$

Par conséquent:

$$d(ph+1) - d(ph) = \ln(ph+1) - \ln((1-p)h)$$

En mettant p en facteur dans le premier terme de la différence:

$$d(ph+1) - d(ph) = \ln(p) - \ln(1 - p) + \ln( \frac{h + 1/p}{h})$$

On a donc:

$$\forall h > 0, \: d(ph+1) - d(ph) > \ln(\frac{p}{1 - p})$$

$$lim_{h \rightarrow \infty}(d(ph+1) - d(ph)) = \ln(\frac{p}{1 - p})$$

On calcule de même:

$$d(ph) - d(ph - 1) = \ln(p) - \ln(1 - p) - \ln( \frac{h + 1/(1-p)}{h})$$

Par conséquent:

$$\forall h > 1, \: d(ph) - d(ph - 1) < \ln(\frac{p}{1 - p})\\ lim_{h \rightarrow \infty}(d(ph) - d(ph-1)) = \ln(\frac{p}{1 - p})$$

Or, d'après le théorème de Rolle, comme d est continue et dérivable sur [0,h[:

$$\exists m_{1} \in [ph,ph+1], \: d'(m_{1}) = d(ph+1) - d(ph) \geq \ln(p) - \ln(1 - p)$$

$$\exists m_{2} \in [ph-1,ph], \: d'(m_{2}) = d(ph) - d(ph - 1) \leq \ln(p) - \ln(1 - p)$$

La dérivée d' étant continue, cela signifie que:

$$\forall h>1, \exists m_{0} \in [ph-1,ph+1], \: d'(m_{0}) = \ln(p) - \ln(1 - p)$$

Ce qui montre que $\frac{\partial f}{\partial m}(h,m)$ s'annule sur $[ph-1,ph+1]$ pour tout h>1.
D'autre part, $\ln(\Gamma(m))$ étant une fonction convexe deux fois dérivable, sa dérivée seconde est une fonction strictement positive sur [1,h[. De même, la dérivée seconde de $\ln(\Gamma(h-m))$ est strictement positive sur [1,h[ (par composition des fonctions $\Gamma(m)$ et $h-m$). Par conséquent, $d'$ est croissante sur [1,h[. En particulier, on en déduit que $d'$ ne prend la valeur $\ln(p) - \ln(1 - p)$ qu'une seule fois, donc, en revenant à l'équation B.13:

1. $\frac{\partial f}{\partial m}(h,m)$ ne s'annule qu'une seule fois, dans l'intervalle $[ph-1,ph+1]$.
2. d' étant croissante sur [1,h[ et f positive, on en déduit que le point d'annulation de la dérivée partielle de f est un maximum (dérivée partielle positive sur [1,ph-1] et négative sur [ph+1,h[.

Ce qui conclut le premier point de la preuve.
Nous allons à présent étudier le comportement conjoint des suites $(u_{h,i})$ et $(u^{'}_{h,i})$ suivant les trois cas évoqués au début de ce paragraphe.
Dans un premier temps, nous considérons l'hypothèse l < p. Le travail effectué dans le premier point nous permet d'écrire l'inégalité suivante, pour tout $k_{p} < [ph]$:

$$\forall k \leq k_{p},\,\, C_{h}^{k} p^{k} (1-p)^{h-k} \leq C_{h}^{k_{p}} p^{k_{p}} (1-p)^{h-k_{p}}$$ (24)

De même, pour tout $k_{l} > [lh] + 1$:

$$\forall k \geq k_{l},\,\, C_{h}^{k} l^{k} (1-l)^{h-k} \leq C_{h}^{k_{l}} p^{k_{l}} (1-l)^{h-k_{l}}$$ (25)

Par conséquent, en sommant suivant différentes valeurs de k, on obtient:

$$\sum_{k=0}^{k_{p}} C_{h}^{k} p^{k} (1-p)^{h-k} \leq (k_{p} + 1) C_{h}^{k_{p}} p^{k_{p}} (1-p)^{h-k_{p}}$$ (26)

$$\sum_{k=k_{l}}^{h} C_{h}^{k} l^{k} (1-l)^{h-k} \leq (h - k_{l} + 1) C_{h}^{k_{l}} l^{k_{l}} (1-l)^{h-k_{l}}$$ (27)

Or, pour tout p et tout l vérifiant p > l, on a la relation suivante:

$$\exists h_{0},\forall h > h_{0}, \exists k_{*}, \, \, [lh] + 1 < k_{*} < [ph]$$

Par conséquent, $k_{*}$ vérifie simultanément les relations B.14 et B.15. Or, si on pose $k_{*} = h - i_{*}$, avec $i_{*} \in [(1-p)h,(1-l)h]$, les deux sommes précédentes ne sont autres que $u_{h,i_{*}}$ et $u^{'}_{h,i_{*}}$. D'où les relations suivantes, vérifiées simultanément par $i_{*}$:

$$u_{h,i_{*}} \leq (h - i_{*} + 1) C_{h}^{i_{*}} p^{h - i_{*}} (1-p)^{i_{*}}$$

$$u^{'}_{h,i_{*}} \leq (i_{*} + 1) C_{h}^{i_{*}} l^{h - i_{*}} (1-l)^{i_{*}}$$

Pour montrer que les deux majorants des relations B.14 et B.15 tendent vers 0, nous allons rechercher un équivalent de ceux-ci lorsque h tend vers l'infini. D'après la formule de Stirling, un équivalent de n! est:

$$n! \underset{h \rightarrow \infty}{\sim} \sqrt{2 \pi} \, n \left(\frac{n}{e} \right)^{n}$$

Nous remarquons que lorsque h devient grand, $i_{*}$ devient grand, car $i_{*} \geq (1-p)h$. Par conséquent, l'équivalent précédent s'applique aux trois factorielles de $C_{h}^{i_{*}}$. On peut donc donner un équivalent du majorant de $u_{h,i_{*}}$ et de celui de $u^{'}_{h,i_{*}}$.

$$(h - i_{*} + 1) C_{h}^{i_{*}} p^{h - i_{*}} (1-p)^{i_{*}} \under... ... - i_{*})^{h - i_{*}+1} \: i_{*}^{i_{*} + 1}} \: p^{h - i_{*}} (1 - p)^{i_{*}}$$

$$(i_{*} + 1) C_{h}^{i_{*}} l^{h - i_{*}} (1-l)^{i_{*}} \underset{... ... - i_{*})^{h - i_{*}+1} \: i_{*}^{i_{*} + 1}} \: l^{h - i_{*}} (1 - l)^{i_{*}}$$

En posant $i_{*} = \alpha h$, avec $\alpha \in [1-p,1-l]$, les équivalents précédents s'écrivent:

$$\frac{h(1-\alpha) + 1}{\sqrt{2 \pi} \: h \alpha (1 - \alpha)} \: g_{p}(h, \alpha)$$

$$\frac{h \alpha + 1}{\sqrt{2 \pi} \: h \alpha (1 - \alpha)} \: g_{l}(h, \alpha)$$

avec:

$$g_{p}(h, \alpha) = \left(\frac{p}{1 - \alpha}\right)^{(1-\alpha)h} \: \left( \frac{1-p}{\alpha} \right)^{\alpha h}$$

$$g_{l}(h, \alpha) = \left(\frac{l}{1 - \alpha}\right)^{(1-\alpha)h} \: \left( \frac{1-l}{\alpha} \right)^{\alpha h}$$

Montrons à présent que $g_{p}(h, \alpha)$ et $g_{l}(h, \alpha)$ deviennent conjointement aussi petits qu'on le souhaite. Pour cela, considérons $\ln(g_{p}(h,\alpha))$ et $\ln(g_{l}(h, \alpha)$:

$$\ln(g_{p}(h, \alpha)) = h q_{p}(\alpha) \: \: avec \: q_{p}(\alpha) = (1-\alpha) \ln( \frac{p}{1-\alpha}) + \alpha \ln( \frac{1 - p}{\alpha})$$

$$\ln(g_{l}(h, \alpha)) = h q_{l}(\alpha) \: \: avec \: q_{l}(\alpha) = (1-\alpha) \ln( \frac{l}{1-\alpha}) + \alpha \ln( \frac{1 - l}{\alpha})$$

Les variations de $q_{p}(\alpha)$ et de $q_{l}(\alpha)$ sont données à partir de leur dérivée:

$$q^{'}_{p}(\alpha) = \ln (\frac{(1-p)(1 - \alpha}{p \alpha})$$

$$q^{'}_{l}(\alpha) = \ln (\frac{(1-l)(1 - \alpha}{l \alpha})$$

Or, si $\alpha \in [1-p,1-l]$, des encadrements montrent que $q^{'}_{p}(x) \leq 0$ et $q^{'}_{l}(x) \geq 0$ pour $x \in [1-p,1-l]$. Par conséquent, $q_{p}(x) \leq q_{p}(1-p)$ et $q_{l}(x) \leq q_{l}(1-l)$. Or, $q_{p}(1-p) = q_{l}(1-l) = 0$.
Par conséquent, pour $\alpha \in ]1-p,1-l[$, on a les deux inégalités $q_{p}(\alpha) < 0$ et $q_{l}(\alpha) < 0$ , simultanément, indépendamment de h. Ce qui montre que:

$$\lim_{h \rightarrow \infty} \ln(g_{p}(h, \alpha)) = - \infty$$

$$\lim_{h \rightarrow \infty} \ln(g_{l}(h, \alpha)) = - \infty$$

Par conséquent:

$$\lim_{h \rightarrow \infty} g_{p}(h, \alpha) = 0$$

$$\lim_{h \rightarrow \infty} g_{l}(h, \alpha) = 0$$

Comme:

$$\lim_{h \rightarrow \infty} \frac{h(1-\alpha) + 1}{\sqrt{2 \pi} \: h \alpha (1 - \alpha)} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \: \alpha} > 0$$

$$\lim_{h \rightarrow \infty} \frac{h \alpha + 1}{\sqrt{2 \pi} \: h \alpha (1 - \alpha)} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \: (1 - \alpha)} > 0$$

On en déduit que les fonctions majorantes de $(u_{h,i})$ et de $(u^{'}_{h,i})$ peuvent être rendues simultanément aussi petites qu'on le souhaite, en fixant un i dans l'intervalle $]lh,ph[$. Comme ces suites sont positives par définition (probabilités), nous venons donc de démontrer le premier cas de figure p>l (l'existence d'un $h_{min}$ unique tel que défini dans la proposition initiale est triviale: c'est la borne inférieure des solutions (h,i(h)).
Dans le cas de figure l=p, il suffit de reprendre les relations de récurrence concernant $(u_{h,i})$ et $(u^{'}_{h,i})$ pour constater directement que $u_{h,i} u^{'}_{h,i} = 1$ pour tout h et tout $i \leq h$. Par conséquent, $u_{h,i}$ et $u^{'}_{h,i}$ ne peuvent pas être simultanément inférieurs à 0.5. Donc, pour tout $\epsilon < 0.5$, il n'existe aucun couple de solutions (h,i) vérifiant les deux hypothèses.
Considérons à présent le dernier cas de figure (l>p). Soit $(S_{h,i})$ la suite définie par:

$$\forall h \in \mathbb{N},\forall i \in \mathbb{N}, i \leq h, \:\: S_{h,i} = u_{h,i} + u^{'}_{h,i})$$

Nous allons montrer par récurrence sur h que chaque terme $S_{h,i}$ est supérieur ou égal à 1.
Pour h=1, $S_{1,0}=1$ et $S_{1,1}=(1-p)+l>1$. L'hypothèse de récurrence est donc vraie pour h=1.
Supposons que cette hypothèse soit vraie jusqu'au rang $h \geq 1$. Posons $l=p+\alpha$, avec $\alpha > 0$. Nous allons déterminer une relation de récurrence liant les $S_{h,i}$. Pour cela, nous utilisons celles existant entre les $u_{h,i}$ et entre les $u^{'}_{h,i}$ permettent d'écrire:

$$u_{h+1,i+1} + u^{'}_{h+1,i+1} = (1-p)u_{h,i} + p.u_{h,i+1} + (1-p-\alpha)u^{'}_{h,i} + (p+\alpha)u^{'}_{h,i+1}$$

En regroupant les termes, il vient:

$$S_{h+1,i+1} = (1-p)S_{h,i} + p.S_{h,i+1} + \alpha (u^{'}_{h,i+1} - u^{'}_{h,i})$$

Or, $u^{'}_{h,i+1} - u^{'}_{h,i} = v^{'}_{h,i+1} \geq 0$. Par conséquent, on a l'inégalité suivante:

$$S_{h+1,i+1} \geq (1-p)S_{h,i} + p.S_{h,i+1}$$

Par hypothèse de récurrence, $S_{h,i} \geq 1$ et $S_{h,i+1} \geq 1$. On en déduit que $(1-p)S_{h,i} + p.S_{h,i+1} \geq 1$ (relation barycentrique). D'où $S_{h+1,i+1} \geq 1$. Cela étant vrai pour tout $i \in \{0,...,h\}$, et sachant que $S_{h+1,0} = 1 \geq 1$, on en déduit que $\forall i \in \{0,..,h+1\}, \:S_{h+1,i} \geq 1$. Ce qui termine la récurrence.
Nous venons donc de prouver le cas l>p. En effet, la somme de deux termes étant supérieure ou égale à 1, l'un des deux termes doit être supérieur ou égal à 0.5 .