1 Point de départ, notations et mise en équation

L'objet de cette section est de présenter les hypothèses servant de base à une technique permettant de pallier les deux problèmes que nous venons d'évoquer. Pour cela, nous allons adopter le même principe de confirmation que pour la méthode présentée précédemment, mais sur un segment mobile S de longueur l < 1 et de centre C(t) $\in$ [0, 1]. L'idée est de ``suivre'' le signal de manière à ce que les mesures prises à chaque instant t appartiennent, si possible, à S (voir la figure 2.16). Ainsi, si les mouvements apportés à S sont ``corrects'', le déplacement du signal dans le repère lié à S devient plus ``lent'' voire, idéalement, nul: cela revient à traiter le problème 1, puisque si le segment ``suit'' correctement le signal, le nombre de fois où celui-ci est touché peut être aussi grand qu'on le souhaite, permettant de valider avec certitude la justesse du déplacement. L'information à laquelle nous aboutirons sera un état interne: le passage d'un état initial à l'autre sera déterminé parfaitement par la connaissance de l'état initial et de l'action permettant le mouvement du segment, sachant qu'on est certain que celle-ci permet de suivre correctement le signal.
Du point de vue des hypothèses 6 et 4 que nous avons effectuées au chapitre précédent, cette approche est intéressante. En effet, le problème de recherche de cohérence, tel qu'il est maintenant posé, revient à trouver une séquence d'actions internes appliquées à un segment de longueur ``judicieuse''.
Cependant, ce système ne permet pas d'appréhender des signaux dont l'amplitude du bruit n'est a priori pas bornée par une valeur connue (voir le problème 2). Pour cela, nous allons considérer que le segment S possède une mémoire d'horizon fini h. Pendant h pas de temps, le segment de largeur l décrit un ``tuyau'' (figure 2.17), qui capte un certain nombre de points du signal. La ``mémoire'' a pour but d'évaluer le nombre de points effectivement captés par S pendant h pas de temps. Elle peut être matérialisée par une file d'attente de longueur h, dont les éléments sont des 0 et des 1 (figure 2.18).
Soit T_S la somme de ces éléments; T_S correspond au nombre de points captés pendant les h.$\tau$ dernières secondes. On considère également un signal X(t) de densité de probabilité inconnue a priori F_X(t) tel que F_X(t) positive et $\int_{0}^{1}$F_X(t)(u)du = 1. Le fait de placer le centre C(t) du segment S et d'en fixer la longueur l permettrait de déterminer la probabilité associée à la valeur du signal X(t) d'être à l'intérieur de S, dans le cas où F_X(t) serait connue. Soit p(t) cette probabilité. La valeur théorique de p(t) est donnée par la relation suivante:

$$\int_{C(t)-\frac{l}{2}}^{C(t)+\frac{l}{2}}$$ (8)

En supposant p(t) connu à chaque instant t, t - $\tau$, t - 2$\tau$,..., t - (h - 1)$\tau$, on peut donner l'expression de la probabilité Pr_i que le nombre des éléments non nuls de la file d'attente soit supérieur strictement à i, avec i $\in$ {0,..., h - 1}: Pr_i = Pr(T_S > i). Or, la probabilité pour qu'un élément j de la file d'attente soit égal à 1 suit une loi de Bernouilli de paramètre p_j = p(t - j$\tau$). Par conséquent, la probabilité Pr(T_S = m), avec m $\in$ $\left\{\vphantom{i+1,i+2,...,h }\right.$i + 1, i + 2,..., h$\left.\vphantom{i+1,i+2,...,h }\right\}$ s'écrit de la manière générale suivante:

$$\sum_{E \subset H(m)}^{} \left(\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right. \prod_{j \in E}^{} \left.\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right) \left(\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right. \prod_{j \in \overline{E}}^{} \left.\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right)$$ (9)

Avec H(m) ensemble des parties de {0, 1,..., h - 1} comportant m éléments, et $\overline{E}$ ensembles des éléments de {0, 1,..., h - 1} n'appartenant pas à E.
Dans le cas où les p_j seraient tous égaux et vaudraient p, Pr(T_S = m) pourrait s'exprimer suivant une loi binomiale de paramètre (h,p).
La probabilité Pr_i se déduit de l'équation 2.9 sachant que Pr_i = $\sum_{m=i+1}^{h}$Pr₍T_S = m). Or, la probabilité d'avoir au moins i valeurs du signal en dehors du segment, donc d'avoir au moins i ``0'' dans la file d'attente est égale à Pr(T_S $\leq$ h - i) = 1 - Pr_{h - i}.

Figure: Suivi d'un signal sinusoïdal artificiellement bruité.

L'évolution du signal suit une fonction sinusoïdale, bruitée artificiellement (loi uniforme d'amplitude 0.3). Sur le graphique, un segment de longueur 0.4 se déplace de la position 1 vers 2 puis 3 avec une vitesse constante. Le mouvement de 3 à 4 résulte d'un changement d'action appliqué à ce segment.

Figure: Le mouvement d'un segment crée un ``tuyau'' qui capte un certain nombre de points du signal.

Figure: État de la mémoire associée à un segment.

Le segment se déplace à une vitesse constante. À l'instant t=9, l'état de la mémoire associée à celui-ci est montré à droite du schéma. Les zéros correspondent aux instants t=7 et t=4 pour lesquels la valeur du signal n'est pas incluse dans le segment.