2 Conditions à l'obtention d'informations perceptives

Intuitivement, on se rend compte qu'on peut trouver des couples (horizon h de la mémoire, nombre d'erreurs maximum admissible i) pour que la probabilité d'avoir effectivement au moins i erreurs sur h pas de temps soit aussi petite qu'on le souhaite. C'est l'objet de la proposition suivante, dont la preuve est donnée en annexe, page .

Proposition _s   En admettant que l'ensemble des probabilités p(t) définies par la relation 2.8 soit connu pour tout instant t et qu'elles soient minorées par un réel p_min strictement positif, et qu'on fixe un réel $\epsilon$ $\in$ ]0, 1], il existe un entier positif i_min tel que, pour tout nombre d'erreurs tolérées i vérifiant i $\geq$ i_min, il existe un horizon de mémoire maximum h_max tel que si un entier h vérifie h_max $\geq$ h $\geq$ i $\geq$ i_min, alors la probabilité d'avoir au moins i valeurs du signal en dehors du segment S sur h pas de temps est inférieure à $\epsilon$, mais cette probabilité est supérieure à $\epsilon$ pour h_{max + 1} pas de temps.

Fixons $\epsilon$ > 0. Dans la suite de ce chapitre, nous attribuerons une attention spéciale aux couples (h,i) vérifiant l'hypothèse suivante:

Hypothèse _s   La probabilité pour que i valeurs ou plus du signal sortent du segment S, dont la mémoire a un horizon h, est inférieure ou égale à $\epsilon$.

D'autre part, comme nous l'avons indiqué au début de ce paragraphe, nous désirons être certains que la découverte d'un ensemble de mouvements appliqués au segment S, permettant de respecter l'hypothèse 11, n'est pas possible si on applique un signal de loi uniforme sur [0,1]. Par là, nous souhaitons nous prémunir contre l'obtention de ``fausses'' informations; ce raisonnement est identique à celui formulé au paragraphe 2.1.4.
Lorsque le signal X(t) suit une loi uniforme sur [0,1], la probabilité pour que le signal touche le segment S de largeur l suit une loi de Bernouilli de paramètre l. La probabilité Pr(T_S = m) suit une loi binomiale de paramètre (h,l) et la probabilité pour que au moins h - i valeurs de X soient dans le tuyau formé par l'évolution de S est donnée par l'expression:

$$\geq \sum_{m=h-i}^{h} \left(\vphantom{1-l}\right. \left.\vphantom{1-l}\right)^{h-m}_{}$$ (10)

Lorsque i est fixé, on montre, identiquement à la proposition 1, le fait suivant (voir les annexes, page ):

Proposition _s   On peut trouver h_min minimum pour rendre Pr(T_S $\geq$ h - i) aussi petit qu'on le souhaite, pour tout h $\geq$ h_min

D'où la formulation d'une nouvelle hypothèse sur les valeurs de i et h, qui peut être satisfaite pour tout i positif ou nul, sachant qu'on a fixé un $\epsilon$ > 0:

Hypothèse _s   La probabilité pour que au moins h - i valeurs d'un signal de loi uniforme sur [0,1] soient incluses dans le segment S de largeur l est inférieure ou égale à $\epsilon$.

Nous nous intéressons à présent aux couples (h,i) vérifiant à la fois les hypothèses 11 et 12. A priori, il n'est pas évident que ces couples existent pour tout $\epsilon$ strictement positif fixé. La proposition suivante, démontrée en annexe, page , donne des conditions d'existence de ces couples.

Proposition _s   Considérons un segment S de largeur l et supposons que l'ensemble des probabilités p_j soient toutes strictement supérieures à l. Alors, pour tout $\epsilon$ > 0, il existe un couple unique h_min, i vérifiant à la fois les hypothèses 11 et 12, avec h_min minimum; c'est-à-dire que pour tout h < h_min et pour tout i < h au moins une des deux hypothèses 11 ou 12 n'est pas respectée.
D'autre part, si on suppose que l'ensemble des probabilités p_j sont toutes supérieures ou égales à l, alors pour tout $\epsilon$ < 0.5, il n'existe aucun couple h, i vérifiant simultanément les deux hypothèses 11 et 12.

Pour donner une idée de l'ordre de grandeur de h, nous allons prendre un exemple où on connaît parfaitement F_X(t). F_X(t) vaut 0 à l'extérieur de [0,1] et vaut K.e^{- ${\frac{(u-0.5)^{2}}{2 \sigma^{2}}}$}, avec K = $\int_{0}^{1}$e^{- ${\frac{(u-0.5)^2}{2 \sigma^{2}}}$}du, sur [0,1]. Si on centre le segment S sur 0.5 (point où la densité de probabilité est maximum), la connaissance de l permet de calculer les p_j, qui sont tous égaux dans ce cas (F_X est indépendant de t). À partir de cela, nous pouvons déterminer par essais successifs le couple (i,h) tel que h $\in$ E($\epsilon$, i). La figure 2.19 montre l'évolution de la valeur de h en fonction de l, pour différentes valeurs du paramètre $\sigma$ de F_X.
Cependant, comme nous ne connaissons pas les p_j en pratique, le fait de choisir un couple (i, h) en supposant que h $\in$ E($\epsilon$, i) conditionne une valeur minimum des p_j admissibles. L'expérience permet de confirmer ou d'infirmer cette hypothèse: le fait que l'expérience mette en évidence un cas où i éléments ou plus de la file d'attente soient égaux à ``0'' permet d'infirmer l'hypothèse 11. L'échec possède deux causes possibles:

1. le positionnement du centre du segment n'est pas adapté (figure 2.20).
2. les caractéristiques du segment (l, h, i), conditionnant les p_j admissibles, n'est pas adaptée par rapport à l'étalement des densités de probabilité F_X(t).

Lorsqu'on définit les caractéristiques d'un segment (l, h, i), on fait une hypothèse sur la nature de F_X. Il est intéressant d'avoir une idée de la réponse du segment lorsque celui-ci est mis dans une situation où cette hypothèse n'est pas valide (positionnement du centre ou caractéristiques du segment non adaptés. Les résultats donnés par la figure 2.21, reprenant la densité de probabilité exhibée précédemment, montrent que, pour un segment dont les caractéristiques ont été établies de manière à ``supporter'' une valeur de $\sigma$ égale à 0.05, la tolérance à l'écart entre le point de densité maximum de F<sub>X</sub> et la position du centre de S dépend fortement de la largeur de ce dernier. Cependant, à largeur l fixée, la courbe d'évolution du nombre de pas moyens entre deux erreurs montre une caractéristique intéressante: il existe une plage de valeurs de l'écart pour laquelle pratiquement aucune erreur n'est détectée, puis une baisse très marquée du nombre de pas moyen entre deux erreurs, puis enfin une convergence asymptotique vers i + 1; en effet, ce nombre correspond au nombre de pas minimal qu'il faut pour s'apercevoir que les hypothèses ne sont pas respectées. Donc, pour chaque largeur l, il existe un écart ``critique'' à partir duquel le délai pour s'apercevoir du non respect des contraintes se raccourcit fortement. Si on effectue une expérience similaire (avec un segment de mêmes caractéristiques (l,h,i)), mais en faisant varier cette fois-ci la valeur de $\sigma$ tout en gardant le centre du segment à l'optimum (0.5), on se rend compte d'une évolution similaire du nombre de pas moyen entre deux non-respects des contraintes suivant la largeur du segment (voir la figure 2.22). Les courbes tendent asymptotiquement vers le nombre de pas moyen sans erreur lorsque le signal X possède une densité de probabilité uniforme sur [0,1] (figure 2.23).

Figure: Exemple d'évolution de l'horizon h de la mémoire suivant la largeur du segment S

Pour cet exemple, on fixe $\epsilon$ = 10^-15. Les croix indiquent la position du minimum des courbes, relatives à une valeur particulière de $\sigma$.

Figure: Le segment S est positionné en dehors du maximum de densité de probabilité du signal.

Figure: Sensibilité d'un segment à l'écart entre son centre et le point dont la densité est maximum

Le segment S est construit de manière à résister (avec une probabilité 1 - $\epsilon$) à un signal de densité F_X, avec sigma = 0.05. $\epsilon$ = 10^-15.

Figure: Sensibilité d'un segment à l'étalement de la densité de probabilité du signal

Le segment S est construit de manière à résister (avec un probabilité 1 - $\epsilon$) à un signal de densité F_X, avec sigma = 0.05. $\epsilon$ = 10^-15.

Figure: Sensibilité d'un segment à un signal de loi uniforme sur [0,1]

Le segment S est construit de manière à résister (avec un probabilité 1 - $\epsilon$) à un signal de densité F_X, avec sigma = 0.05. $\epsilon$ = 10^-15.