7 Preuve de la proposition 1, (paragraphe 2.2.2, page )

Pour le détail des notations employées ci-dessous, se reporter au corps du recueil (paragraphe 2.2.1, page .


La probabilité d'avoir au moins i valeurs du signal X(t) en dehors du segment S est donnée par l'expression suivante:

$$\leq \sum_{m=0}^{h-i}$$

Les expressions Pr(T_S $\leq$ h - i) et Pr(T_S = m) dépendent respectivement de h et i, puis de h et m. Nommons-les respectivement u_{h, i} et v_{h, m} et considérons les suites à deux indices (u_{h, i}) et (v_{h, m}).
L'expression de v_{h, m} est donnée par la relation 2.9 (paragraphe 2.2.1, page ):

$$\sum_{E \subset H(m)}^{} \left(\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right. \prod_{j \in E}^{} \left.\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right) \left(\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right. \prod_{j \in \overline{E}}^{} \left.\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right)$$

La démarche de notre démonstration est la suivante:

1. trouver une relation de récurrence liant les v_{h, m}
2. en déduire une relation de récurrence liant les u_{h, i}
3. à partir du point précédent, montrer que:
   1. si on fixe a priori un $\epsilon$ $\in$ ]0, 1], il existe un i_min tel que u_{imin, imin} $\leq$ $\epsilon$
   2. la suite (u_{h, i}) est croissante suivant h, lorsque i est fixé, et elle tend vers 1 lorsque h tend vers l'infini.
   3. à partir de ce dernier point, on en déduit l'existence de h_max.

Considérons une nouvelle valeur du signal X(h + 1), H^'(m) ensemble des parties de {0,1,...,h-1,h} à m éléments, ainsi que p_{h + 1}, défini par la relation 2.8 (paragraphe 2.2.1, page ). Nous pouvons décomposer la somme v_{h + 1, m} en deux sommes, l'une comportant des ensembles E possédant le dernier élément h, et l'autre ne le possédant pas:

$$\sum_{E \subset H^{'}(m), h \in E}^{} \left(\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right. \prod_{j \in E}^{} \left.\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right) \left(\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right. \prod_{j \in \overline{E}}^{} \left.\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right) \sum_{E \subset H^{'}(m), h \notin E}^{} \left(\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right. \prod_{j \in E}^{} \left.\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right) \left(\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right. \prod_{j \in \overline{E}}^{} \left.\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right)$$

Comme h fait partie de E dans la première expression de cette relation, le terme p_{h + 1} fait partie du produit $\prod_{j \in E}^{}$p_j et on peut le mettre en facteur. De même, comme h ne fait pas partie de E dans la seconde expression, le terme 1 - p_{h + 1} peut être mis en facteur dans le produit $\prod_{j \in \overline{E}}^{}$(1 - p_j). Ce qui donne la relation suivante:

$$\begin{multline*} v_{h+1,m} = p_{h+1} \sum_{E \subset H^{'}(m), h \in E}\left(\p... ...ght)\left(\prod_{j \in \overline{E}, j \neq h}(1 - p_{j})\right) \end{multline*}$$

Or, l'expression $\sum_{E \subset H^{'}(m), h \in E}^{}$$\left(\vphantom{\prod_{j \in E, j \neq h}p_{j}}\right.$$\prod_{j \in E, j \neq h}^{}$p_j$\left.\vphantom{\prod_{j \in E, j \neq h}p_{j}}\right)$$\left(\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right.$$\prod_{j \in \overline{E}}^{}$(1 - p_j)$\left.\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}}(1 - p_{j})}\right)$ est exactement la même que v_{h, m - 1}.
De même, l'expression $\sum_{E \subset H^{'}(m), h \notin E}^{}$$\left(\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right.$$\prod_{j \in E}^{}$p_j$\left.\vphantom{\prod_{j \in E}p_{j}}\right)$$\left(\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}, j \neq h}(1 - p_{j})}\right.$$\prod_{j \in \overline{E}, j \neq h}^{}$(1 - p_j)$\left.\vphantom{\prod_{j \in \overline{E}, j \neq h}(1 - p_{j})}\right)$ vaut v_{h, m}. Ce qui donne le relation de récurrence suivante:

v_{h + 1, m} = (1 - p_{h + 1})v_{h, m} + p_{h + 1}v_{h, m - 1} (17)

Si on effectue la somme des éléments de la relation B.1 pour m $\in$ {1,..., h - i}, on obtient la relation suivante:

$$\sum_{m=1}^{h-i} \sum_{m=1}^{h-i} \sum_{m=1}^{h-i}$$

Or, pour tout couple (h, i), avec 0 $\leq$ i $\leq$ h, $\sum_{m=0}^{h-i}$v_{h, m} = u_{h, i}.
On en déduit les trois relations suivantes, par des changements d'indices appropriés:

$$\sum_{m=1}^{h-i}$$

$$\sum_{m=1}^{h-i}$$

$$\sum_{m=1}^{h-i}$$

Or, v_{h + 1, 0} = $\prod_{j \in \{0,..,h\}}^{}$(1 - p_{j + 1}) = (1 - p_{h + 1})v_{h, 0}. Ce qui donne la relation:

u_{h + 1, i + 1} = (1 - p_{h + 1})u_{h, i} + p_{h + 1}u_{h, i + 1} (18)

Comme u_{h, i} = u_{h, i + 1} + v_{h, i + 1} et que v_{h, i + 1} est un terme positif ou nul, on en déduit que u_{h, i + 1} $\leq$ u_{h, i}. Or, p_{h + 1} est une probabilité, donc est compris dans l'intervalle [0,1]. Par conséquent, la relation B.2 est une relation barycentrique et implique l'inégalité suivante:

$$\forall \geq \geq \leq \leq$$

On en déduit que lorsque i est fixé, strictement positif, la suite (u_{h, i}) est croissante suivant h. Par conséquent, $\forall$h $\geq$ i, u_{h, i} $\geq$ u_{i, i}. Or, u_{i, i} = $\prod_{j=1}^{i}$(1 - p_j). Comme on suppose, par hypothèse, que l'ensemble des p_j peuvent être minorés par un p_min strictement positif (ce qui signifie que la probabilité d'être à l'intérieur d'un segment de largeur l n'est jamais nulle), u_{i, i} est strictement décroissante et tend vers 0 lorsque i tend vers l'infini. Ce qui signifie que si on fixe a priori un $\epsilon$ $\in$ ]0, 1], il existe un i_min tel que u_{imin, imin} $\leq$ $\epsilon$.
D'autre part, si on choisit un i $\geq$ i_min, on a également u_{i, i} $\leq$ $\epsilon$, d'après la remarque sur la décroissance de (u_{i, i}).
Nous allons à présent montrer que la suite (u_{h, i}) tend vers 1 suivant h, lorsque i est fixé.
Nous avons déjà remarqué que la suite (u_{h, i}) est croissante suivant h, lorsque i est fixé. Or, les u_{h, i} sont des probabilités, donc (u_{h, i}) est majorée par 1. Par conséquent, (u_{h, i}) converge suivant h, lorsque i est fixé. Soit l_i = $\lim_{h\rightarrow \infty }^{}$u_{h, i} et l_{i + 1} = $\lim_{h\rightarrow \infty }^{}$u_{h, i + 1}. La convergence ainsi que la croissance de u_{h, i} suivant h, lorsque i est fixé, permettent d'affirmer:

$$\forall \alpha \exists \in \mathbb {N} \forall \geq \alpha \alpha$$

Comme (u_{h, i + 1}) est décroissante suivant i, à h fixé, u_{h, i + 1} $\leq$ u_{h, i}, l_i - u_{h, i} < $\alpha$ $\Rightarrow$ l_i - u_{h, i + 1} < $\alpha$. Or, d'après la relation B.2, u_{h, i + 1} $\in$ [u_{h - 1, i + 1}, u_{h - 1, i}]. Par conséquent, l_i - u_{h, i + 1} $\in$ [l_i - u_{h - 1, i}, l_i - u_{h - 1, i + 1}]. Comme l_i - u_{h - 1, i} $\geq$ 0, on en déduit l'encadrement:

$$\leq \alpha$$

En d'autres termes, cela étant vrai pour tout $\alpha$, l_i = $\lim_{h\rightarrow \infty }^{}$u_{h, i + 1} = l_{i + 1}.
Nous venons donc de montrer que pour tout i fixé, $\lim_{h\rightarrow \infty }^{}$u_{h, i} = l_i = l_{i - 1} = ... = l₀.
Or, u_{h, 0} = 1 pour tout h. Ce qui montre $\lim_{h\rightarrow \infty }^{}$u_{h, i} = 1 pour tout i.
Par conséquent, pour i fixé tel que i $\geq$ i_min, il existe un h_max tel que:

$$\forall \geq \leq \epsilon \epsilon$$

Ce qui termine la démonstration.