8 Preuve de la proposition 2 (paragraphe 2.2.2, page )

Pour le détail des notations employées ci-dessous, veuillez vous reporter au corps du recueil (paragraphe 2.2.1, page ).


On considère un signal X(t), dont la densité de probabilité suit une loi uniforme sur [0,1]. La probabilité d'avoir au moins h-i valeurs du signal X(t) à l'intérieur du segment S de largeur l est donnée par l'équation 2.10, dont voici le rappel:

$$\geq \sum_{m=h-i+1}^{h} \left(\vphantom{1-l}\right. \left.\vphantom{1-l}\right)^{h-m}_{}$$ (19)

Considérons la suite (v^'_{h, m}) définie par la relation suivante:

$$\forall \in \left(\vphantom{1-l}\right. \left.\vphantom{1-l}\right)^{h-m}_{}$$

Nous définissons la suite (u^'_{h, i}) en fonction des v^'_{h, m}:

$$\forall \in \sum_{m=h-i+1}^{h}$$

Donc, u^'_{h, i} = Pr(T_S $\geq$ h - i).
Or, sachant que $\sum_{m=0}^{h}$v^'_{h, m} = 1, on peut transformer l'expression de u^'_{h, i}:

$$\sum_{m=0}^{h-i}$$

Or, la suite (v^'_{h, m}) est un cas particulier de l'étude faite au paragraphe B.3, avec des p_j tous égaux et valant l . Lorsque i est fixé, on en déduit que:

$$\rightarrow \infty \sum_{m=0}^{h-i}$$

Par conséquent, lorsque i est fixé:

$$\rightarrow \infty$$

Par conséquent, lorsque $\epsilon$ > 0 et i sont fixés, il existe un h_min tel que pour tout h $\geq$ h_min, Pr(T_S $\geq$ h - i) < $\epsilon$.