6 Premiers résultats expérimentaux

Les premiers tests que nous avons réalisés concernent la réaction de l'algorithme 2.1 face à un signal de densité de probabilité uniforme sur [0,1]. Nous rappelons que, en théorie, la probabilité qu'il existe des focus vivants après le temps de latence des premiers focus générés est inférieure ou égale à $\epsilon$, que nous fixerons arbitrairement à 10^-15. Aucune expérience avec cette valeur de $\epsilon$ n'a permis de mettre en évidence un cas où le nombre de focus vivants reste non nul après le temps de latence fixé par h. Les résultats présentés par la figure 2.25 montrent le nombre d'itérations moyen de l'algorithme avant de ne plus avoir de focus ``vivants'', pour un ensemble F composé de focus de même caractéristiques (l,h,i), mais possédant des actions internes associées différentes. On peut comparer ces résultats à ceux obtenus dans la figure 2.23, concernant des segments soumis à un signal de loi de probabilité uniforme sur [0,1]. En référence à l'importance du suivi du temps de latence imposé par la valeur de h, la figure 2.26 montre que si ce délai n'est pas respecté et est fixé arbitrairement à une valeur inférieure à h pas de temps, alors il peut exister un nombre non nul de focus vivants aussi longtemps qu'on le souhaite. Ce phénomène est facilement expliquable: la possibilité de génération de nouveaux focus à chaque itération de l'algorithme 2.1 crée un arbre de recherche exhaustif, dont l'objectif est de trouver une suite d'actions de base permettant de construire un ``tuyau'' de largeur l contenant un maximum de points du signal, et en en rejetant au plus i sur les h dernières itérations. Cette opération est toujours possible lorsque la valeur de i est ``assez'' élevée. Pour une branche donnée de l'arbre de recherche, la probabilité de respecter les contraintes est aussi faible qu'on le souhaite; cependant, le nombre de branches augmente exponentiellement, rendant très probable, au bout du compte, le fait de trouver une branche (c'est-à-dire un ``tuyau'' particulier) solution.
Un exemple de résultat de l'algorithme, incorporant le critère d'élagage, est donné par la figure 2.27. Les focus utilisés dans le cadre de cet essai sont construits pour résister à un bruit gaussien ( $\sigma$ = 0.05). Douze actions internes sont employées (chacune correspondant à un déplacement uniforme du focus, de vitesse ±0.005,±0.01,±0.02,±0.03,±0.04,±0.05 . Tous les focus possèdent une largeur l = 0.3. Cette donnée nous suffit pour déterminer les valeurs de h et i (sachant que $\sigma$ = 0.05 et $\epsilon$ = 10^-15 sont connus: h=56 et i=10.
À partir de cet exemple, nous constatons que nous avons effectué plusieurs choix a priori:

1. nous avons construit les douze focus de base en supposant connue la nature du bruit (gaussien) ainsi que son amplitude ($\sigma$).
2. nous avons choisi une valeur de l parmi d'autres possibilités (apparemment, d'une manière arbitraire).
3. nous avons déterminé a priori l'ensemble des douze actions internes.

Le détail du premier point sera réglé dans le paragraphe suivant. En ce qui concerne le deuxième point, la lecture de la figure 2.19, page , nous montre que la valeur de l influe directement (lorsque $\sigma$ et $\epsilon$ sont fixés) sur la valeur de l'horizon h de la mémoire du focus, et qu'il existe une ou des valeurs de l pour lesquelles h est minimum. Or, nous connaissons l'importance de h, qui représente le délai de latence qu'il faut qu'un focus observe avant de pouvoir générer d'autres focus. Plus ce délai est court, plus le nombre de signaux que l'algorithme peut suivre est important. Ainsi, si nous avions choisi l=0.65, les valeurs correspondantes de h et i auraient été 97 et 2; le délai de latence aurait donc été de 97 pas de temps: l'expérience montre que cela aurait aboutit à un échec du suivi du signal présenté en figure 2.27. En effet, les variations de ce signal sur cette période de temps (ici, 97.$\tau$ = 0.485sec) ne sont pas compatibles avec les actions internes permettant une trajectoire rectiligne par morceaux, sur des durées minimum de 0.485 secondes. En revanche, lorsque l=0.3, le délai de latence est ramené à 56.$\tau$ = 0.28sec qui est acceptable pour ce signal.
Néanmoins, nous avertissons le lecteur que le choix de la valeur de l qui permet de minimiser h ne résulte pas d'une quelconque démonstration montrant qu'il s'agit dans l'absolu du meilleur choix. En fait, dans l'absolu, le critère que nous avons sélectionné n'est pas idéal, mais nous nous en contenterons pour l'instant.

Figure: Évolution du nombre moyen d'itérations de l'algorithme 2.1 avant erreur, lorsqu'un signal de loi uniforme sur [0,1] est reçu.

Tous les focus de F possèdent les mêmes caractéristiques l, h et i , créées pour supporter un signal de densité F_X, avec $\sigma$ = 0.05. L'ensemble des croix suit la courbe donnée par la figure 2.23. Les trois courbes en trait plein correspondent (de haut en bas) à la courbe du nombre maximum d'itérations entre deux erreurs, à la courbe moyenne et à la courbe du nombre minimum d'itérations entre deux erreurs. On s'aperçoit que la courbe moyenne est quasiment superposée à l'ensemble des croix pour toutes les valeurs de l. D'autre part, l'écart entre la courbe maximum et la courbe minimum augmente lorsque l augmente: cela signifie que plus l est grand, plus la variabilité du résultat (en fonction du tirage au hasard effectué) est grande. Enfin, comme les hypothèses de construction des focus le stipulent, le nombre maximum d'itérations avant erreur est inférieur à la profondeur h de la mémoire, pour tous les focus.

Figure: Mise en évidence d'une solution ``absurde'' lorsque le délai de latence n'est pas respecté

Les focus permettant de construire la solution donnée ci-dessus sont dimensionnés pour supporter un bruit gaussien, avec $\sigma$ = 0.05. Les caractéristiques principales sont l=0.1, h=142, i=92. La figure montrant l'écart de position entre le signal et le centre du focus met en relief la possibilité de construction de la trajectoire des focus de manière à rassembler un maximum de points à l'intérieur du ``tuyau''.

Figure: Séquence de focus permettant de suivre le signal.