7 Adaptation au bruit de mesure

Les remarques faites dans le paragraphe précédent mettent en lumière le fait que l'algorithme général de suivi nécessite l'emploi de paramètres que l'utilisateur fixe a priori. La réponse au point 2 permet de s'affranchir du choix de l d'une manière avantageuse dans beaucoup de cas de figure (on choisit l qui minimise h, lorsque $\sigma$ est fixé), même si le critère choisi est arbitraire. L'algorithme 2.3 permet d'éviter de décider arbitrairement du choix de $\sigma$; son objet est de permettre une adaptation à une amplitude de bruit gaussien compatible avec le signal proposé. Pour construire la règle d'adaptation, nous nous basons sur le fait que h_min augmente lorsque $\sigma$ augmente, à $\epsilon$ fixé (figure 2.28). Par conséquent, la durée de latence la plus brève correspond également à la valeur de $\sigma$ la plus faible.
L'algorithme 2.3 permet d'obtenir à tout moment le temps de latence le plus faible possible permettant de respecter les contraintes données par les hypothèses 11 et 12. Cependant, il ne permet évidemment pas de donner la nature précise du bruit de mesure; en particulier, nous ne pouvons pas en conclure la valeur de $\sigma$ du signal réel, dans le cas où celui-ci serait gaussien. L'exemple donné par la figure 2.29 montre qu'un ensemble d'actions internes inadapté contraint l'algorithme à trouver une solution dont les focus sont attachés par endroits à des valeurs de $\sigma$ beaucoup plus élevées qu'en réalité. D'un autre côté, cette même figure (graphe du bas) montre que l'algorithme permet de s'adapter à un bruit uniforme d'amplitude importante (0.3). Dans ce cas, l'algorithme trouve une largeur de segment en correspondance avec l'amplitude du bruit.
Pour le moment, laissons de côté l'imprécision due au choix des actions internes (nous discuterons partiellement de ce point au cours du chapitre 3), et intéressons-nous à l'adaptation à un signal X dont la densité de probabilité F_X est stationnaire (le problème d'imprécision lié à l'adéquation de l'ensemble des actions internes avec l'évolution du signal est évacué). Différents exemples sont donnés par la figure 2.30. Nous remarquons tout d'abord que les signaux de densité de probabilité U[0,1] ne sont pas suivis, conformément à nos exigences (figure en haut à gauche). D'autre part, lorsqu'un signal de densité gaussienne est appliqué, on remarque que, après une période transitoire, la largeur du focus est quasiment constante dans le temps (figure en haut à droite) et se rapproche de la largeur qu'on peut ``visuellement'' constater sur la figure ; cela signifie que le choix effectué grâce à l'algorithme 2.3 est correct et reste stable. Par contre, lorsque la densité de probabilité du signal n'est pas gaussienne (figures du bas), il existe une forte oscillation de la largeur du focus. Cette largeur est même très fortement surestimée pour la figure en bas à gauche. Nous observons ainsi les limites du choix arbitraire d'un h minimum: en nous ``rapprochant'' trop près de du signal (h petit), la précision que nous avons diminue (lorsque h diminue, l augmente).

Figure 2.28: Évolution de l'horizon h minimum suivant l'amplitude d'un bruit gaussien.

Les calculs sont effectués en prenant $\epsilon$ = 10^-15.

Figure: Résultat de l'algorithme de suivi avec adaptation des focus au bruit de mesure.

Le signal X(t) est construit à partir d'une sinusoïde. Dans le premier cas (figure en haut à gauche) ainsi que dans le quatrième cas (figure en bas à droite), on bruite artificiellement cette fonction avec une gaussienne de paramètre $\sigma$ = 0.001. Dans le second cas, (figure en haut à droite), $\sigma$ = 0.10. Enfin, dans le troisième cas (figure en bas à gauche), on bruite d'une manière uniforme avec une amplitude de 0.3 . Dans les trois premiers cas, on possède 6 actions internes, chacune correspondant à un déplacement uniforme du focus, de vitesse ±0.005,±0.01,±0.02. Dans le quatrième cas, on possède 10 actions internes, chacune correspondant à un déplacement uniforme du focus, de vitesse ±0.0025,±0.005,±0.0075,±0.01,±0.02.
Dans le premier cas, on observe nettement qu'il y a rétrécissement de la largeur l associée au focus lorsqu'une partie linéaire du sinus est abordée. Au contraire, il y a élargissement lorsqu'on entame une partie de rayon de courbure plus petit. Or, l est directement associé à la valeur de $\sigma_{k}^{}$. Cela signifie que les régions du signal pour lesquelles les actions internes sont mal adaptées sont mal ``approximées'' et induisent des écart importants entre le centre des focus et le signal X(t). La densité de ces écarts n'est pas gaussienne. Par comparaison, dans le quatrième cas, les actions internes suivent mieux la pente de la courbe et permettent un suivi du signal nécessitant une faible largeur du ``tuyau''.
Dans le deuxième cas, on observe que la largeur des focus est presque constante (et plus grande que dans le premier cas). Cela signifie que les écarts dûs au bruit de mesure ont pris le pas sur ceux résultant de l'inadéquation des actions internes par rapport au signal X(t).

Figure: Différents exemples montrant l'adaptation de la valeur de l dans le temps, lorsque la densité du signal est stationnaire.

Pour les quatre exemples ci-dessus, le pas de temps entre deux mesures est fixé à 0.02 seconde. La densité F_X du signal X est stationnaire et symétrique par rapport à 0.5. Les traits pleins épais correspondent à la limite supérieure du focus (au dessus de 0.5) et à la limite inférieure du focus (en dessous de 0.5), qui, lui-même, est centré sur 0.5 (le focus est immobile au cours du temps). Les variations des bornes inférieure et supérieure du focus montrent l'adaptation de la largeur de celui-ci au cours du temps. Dans ces quatre cas, l peut prendre ses valeurs dans l'ensemble fini {0.032,0.06,0.099,0.149, 0.157, 0.182, 0.22, 0.241, 0.297, 0.303, 0.307, 0.333, 0.338, 0.37, 0.389, 0.402, 0.405, 0.424, 0.434, 0.446, 0.458, 0.471, 0.478, 0.507, 0.502, 0.501}, attaché à l'ensemble des valeurs de $\sigma$ {0.002, 0.005, 0.01, 0.015, 0.02, 0.025, 0.03, 0.035, 0.04, 0.046, 0.051, 0.055, 0.06, 0.065, 0.07, 0.076, 0.08, 0.085, 0.09, 0.095, 0.10, 0.105, 0.11, 0.115, 0.12, 0.125}.
Dans le premier cas (figure en haut à gauche), le signal X possède une densité de probabilité U[0,1]. Le temps maximum indiqué correspond à la durée avant l'échec de l'algorithme (pour les valeurs de $\sigma$ considérées). On remarque l'élargissement progressif du focus au cours du temps, indiquant qu'à aucune étape de l'algorithme, les contraintes n'ont pu être satisfaites. Au contraire, dans le deuxième cas (figure en haut à droite), on applique un signal gaussien de paramètre $\sigma$ = 0.1;sur la gauche de ce graphe, on remarque la partie transitoire durant laquelle le focus s'élargit progressivement (les 0.7 premières secondes), alors que la partie de droite montre une quasi-stabilité de la largeur du focus. Dans les troisième et quatrième cas (figures du bas), on applique un signal mêlant des valeurs d'un signal de densité gaussienne ( $\sigma$ = 0.001 pour la figure de gauche et $\sigma$ = 0.1 pour la figure de droite) avec un signal de densité U[0,1], apparaissant suivant une fréquence $\tau$ = 0.2. On remarque dans ces deux cas que les bornes du focus oscillent nettement (la règle de choix de l en est ici la cause).